Avec cedram.org
Annales Mathématiques
Blaise Pascal
Rechercher un article
Recherche sur le site
Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant
Olivier Ramaré
Modified truncated Perron formulae
(Formules de Perron tronquées modifiées)
Annales mathématiques Blaise Pascal, 23 no. 1 (2016), p. 109-128, doi: 10.5802/ambp.356
Article PDF
Class. Math.: 11N35
Mots clés: Crible de Selberg, inégalité de grand crible

Résumé - Abstract

Nous prouvons deux formules générales prêtes à l’emploi reliant les variations de la fonction sommatoire $\sum _{n\le x}a_n$ avec l’intégrale $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }\int _{\kappa -\mathrm{i}T}^{\kappa +\mathrm{i}T}F(z)x^z\mathrm{d}z/z$, où $F(z)=\sum _{n\ge 1}a_n/n^z$ et $\kappa $ est un paramètre strictement supérieur à l’abscisse de convergence de $F$.

Bibliographie

[1] H. Cartan. Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d’une fonction.. C. R. Acad. Sci., Paris, 208:414-416, 1939.  JFM 65.0217.01
[2] Harold G. Diamond and John Steinig. An elementary proof of the prime number theorem with a remainder term.. Invent. Math., 11:199-258, 1970. Article |  MR 280449 |  Zbl 0195.33304
[3] D. A. Goldston. On a result of Littlewood concerning prime numbers. II. Acta Arith., 43(1):49-51, 1983.  MR 730847 |  Zbl 0478.10025
[4] A. Gorny. Contribution à l’étude des fonctions dérivables d’une variable réelle. Acta Math., 71:317-358, 1939. Article |  MR 848 |  Zbl 0022.15404
[5] J. Hadamard. Sur le module maximum d’une fonction et de ses dérivées.. Bull. Soc. Math. France, 42:68-72, 1914.
[6] G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Contributions to the arithmetic theory of series.. Proc. Lond. Math. Soc. (2), 11:411-478, 1912. Article |  MR 1577235 |  JFM 43.0312.01
[7] J. Kaczorowski and A. Perelli. A new form of the Riemann-von Mangoldt explicit formula. Boll. Un. Mat. Ital. B (7), 10(1):51-66, 1996.  MR 1385054 |  Zbl 0856.11040
[8] Andre Kolmogoroff. Une généralisation de l’inégalité de M. J. Hadamard entre les bornes supérieures des dérivées successives d’une fonction.. C. R. Acad. Sci., Paris, 207:764-765, 1938.  Zbl 0019.31405
[9] E. Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Erster Band.. Leipzig u. Berlin: B. G. Teubner., 1909  JFM 40.0232.08
[10] Jianya Liu and Yangbo Ye. Perron’s formula and the prime number theorem for automorphic $L$-functions. Pure Appl. Math. Q., 3(2, Special Issue: In honor of Leon Simon. Part 1):481-497, 2007. Article |  MR 2340051 |  Zbl 1246.11152
[11] Hugh L. Montgomery and Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory, volume 97 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007  MR 2378655 |  Zbl 1142.11001
[12] A. Perelli and G. Puglisi. On some classical explicit formulae. Boll. Un. Mat. Ital. A (6), 4(2):269-278, 1985.  MR 799781 |  Zbl 0568.10020
[13] Oskar Perron. Zur Theorie der Dirichletschen Reihen. J. Reine Angew. Math., 134:95-143, 1908. Article |  MR 1580748 |  JFM 39.0328.02
[14] D.S. Ramana and Olivier Ramaré. An Exact Truncated Perron Formula. In preparation
[15] Olivier Ramaré. Eigenvalues in the large sieve inequality. Funct. Approx. Comment. Math., 37(part 2):399-427, 2007. Article |  MR 2363835 |  Zbl 1181.11059
[16] PARI/GP, Version 2.5.2, The PARI Group, Bordeaux, 2011, available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/
[17] E. C. Titchmarsh. The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford, at the Clarendon Press, 1951  MR 46485 |  Zbl 0042.07901
[18] Dieter Wolke. On the explicit formula of Riemann-von Mangoldt. II. J. London Math. Soc. (2), 28(3):406-416, 1983. Article |  MR 724709 |  Zbl 0533.10037