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David Mascré
Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés
Annales mathématiques Blaise Pascal, 18 no. 2 (2011), p. 273-300, doi: 10.5802/ambp.300
Article PDF | Reviews MR 2896490 | Zbl 1234.26017
Class. Math.: 26A33, 26D10, 42B35

Résumé - Abstract

Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :

Etant donné $(X, \rho , \mu )$ un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés $p, q, \alpha \in \mathbf{R} $ tels que $1\le p<1/\alpha $, $1/q=1/p-\alpha $, $0<\alpha <1$, l’opérateur intégral fractionnaire $T_{\alpha }$ défini en posant $T_{\alpha }f(x)=\int _X V(x,y)^{\alpha -1}f(y)d\mu (y)$ vérifie :

Si $p>1$, alors

$$T_{\alpha } : L^p(X) \rightarrow L^{q}(X).$$

Si $p=1$, alors

$$T_{\alpha } : L^1(X) \rightarrow L^{q,\infty }(X).$$

Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali $(X, \rho , \mu )$ tel que $\forall \,x \in X$,

$$V(x,r)\le cr^d, \ \ \ \ \forall \, r< 1 \ \ \ \ \ \hbox{ et }\ \ \ \ \ V(x,r)\le cr^D, \ \ \ \ \ \ \forall r\ge 1,$$

étant donné $p, q, a, n\in { \mathbf{R} }$ tels que $1\le p<n/a$, $1/q = 1/p- a/n$,$d \le n\le D$, étant donnée $k_a{\colon \,}X\times X \rightarrow { \mathbf{R} }$ une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en $0$ et en $+\infty $) suivantes

(i) $k_a(x,y) \le c\rho (x,y)^{a-d} \ \ \ \ \forall \,x,y \in X$ tels que $\rho (x,y)<1$,

(ii) $k_a(x,y) \le c\rho (x,y)^{a-D} \ \ \ \ \forall \,x,y \in X$ tels que $\rho (x,y)\ge 1$,

l’opérateur intégral fractionnaire $I_a$ associé au noyau $k_a$ vérifie :

Si $p>1$,

$$I_a{\colon \,} L^p(X) \rightarrow L^q(X).$$

Si $p = 1$,

$$I_a{\colon \,} L^1(X) \rightarrow L^{q,\infty }(X).$$

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